Признаки делимости

Признак делимости – это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, то есть делится ли одно число на другое без остатка. Знание признаков делимости может значительно упростить решение задач, особенно в арифметике и алгебре.

Познакомимся с основными признаками делимости – на 2, 3, 5, 9 и 10.

Основные признаки делимости

Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная, то есть делится на 2 (это 0, 2, 4, 6, 8).

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Пример. Число 123. У числа 123 сумма цифр: 1 + 2 + 3 = 6, а 6 делится на 3.

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Пример. Число 729. У числа 729 сумма цифр: 7 + 2 + 9 = 18, а 18 делится на 9.

Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра равна 0.

Признаки делимости на другие числа в пределах 10

Рассмотрим признаки делимости на 4, 6, 7, 8.

Признак делимости на 4: число делится на 4, если последние две цифры нули или формируют число, которое делится на 4.

Пример. Число 124. В числе 124 последние две цифры – 24, и 24 делится на 4.

Пример. Число 600. Число 600 заканчивается на два нуля и также делится на 4.

Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно.

Пример: число 756.

• Оно четное, следовательно, делится на 2
• Сумма его цифр 7+5+6 = 18, а 18 делится на 3. Следовательно, 756 делится на 3.
• Поскольку 756 делится на 2 и на 3, то оно делится без остатка на 6.

Признак делимости на 7: чтобы проверить делимость на 7, нужно удвоить последнюю цифру и вычесть её из числа, оставшегося без последней цифры. Если результат делится на 7, то и исходное число делится.

Пример. Число 203. Удваиваем последнюю цифру (3) и вычитаем ее из числа, оставшегося без последней цифры (20): 20 - (2 * 3) = 20 - 6 = 14. Число 14 делится на 7, следовательно, число 203 делится на 7.

Признак делимости на 8: число делится на 8, если последние три цифры нули или формируют число, которое делится на 8.

Пример. Число 123456. В числе 123456 последние три цифры – 456, и 456 делится на 8. Значит, 123456 тоже делится на 8 без остатка.

Пример. Число 3000. Число 3000 заканчивается на три нуля и делится на 8.

Признаки делимости на числа в пределах 20

Рассмотрим признаки делимости на 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19.

Признак делимости на 11: число делится на 11, если разность между суммой цифр на четных и нечетных позициях делится на 11 (или равна 0). Или можно записать иначе: когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

Пример. Число 2728. Для числа 2728 проверим разность между суммой цифр на четных и нечетных позициях.

• Четные позиции: 2 + 2 = 4
• Нечетные позиции: 7 + 8 = 15
• Разность: 15 - 4 = 11 (делится на 11).
• Значит, 2728 делится на 11.

Пример. Число 182919. Для этого числа посчитаем сумму цифр с чередующимися знаками.

• 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22.
• -22 делится на 11, значит, 182919 делится на 11.

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4 одновременно.

Пример. Число 612.

• Число 612 делится на 3, потому что сумма его цифр 6 + 1 + 2 = 9 делится на 3.
• Число 612 делится на 4, потому что последние две цифры формируют число 12, которое делится на 4.
• Следовательно, 612 делится на 12.

Признак делимости на 13: число делится на 13 в том случае, если при сложении числа десятков с учетверенной цифрой из разряда единиц получается число, которое делится на 13. Или если результат вычитания умноженной на 9 последней цифры из исходного числа без последней цифры делится на 13 или равен 0.

Пример. Число 442.

• В разряде единиц стоит цифра 2, умножаем ее на 4, получаем 8.
• Число десятков в числе 442 равно 44.
• Складываем число десятков и учетверенную цифру из разряда единиц: 44 + 8 = 52. 52 делится на 13, значит, 442 делится на 13.

Пример. Число 273.

• Последняя цифра 3, умножаем ее на 9: 3 * 9 = 27.
• Число 273 без последней цифры: 27.
• 27 - 27 = 0, значит, 273 делится на 13.

Признак делимости на 14: число делится на 14, если оно одновременно делится на 2 и на 7.

Пример. Число 364.

• 364 заканчивается на четную цифру, значит, делится на 2.
• 364 делится на 7 по признаку делимости на 7: 36 - (4 * 2) = 28, 28 делится на 7.
• Раз 364 делится и на 2, и на 7, то оно делится на 14.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Пример. Число 1020.

• Проверяем делимость на 3: 1 + 0 + 2 + 0 = 3. На 3 делится.
• Проверяем делимость на 5: последняя цифра 0, следовательно, на 5 число делится без остатка.
• Значит, 1020 делится на 15.

Признак делимости на 16: число делится на 16, если последние четыре цифры нули или формируют число, которое делится на 16.

Пример. Число 12380320.

• Последние четыре цифры 0320, то есть проверяем 320.
• 320 делится на 16, поэтому 12380320 тоже делится на 16.

Признак делимости на 17: число делится на 17, когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17.

Пример. Число 1105.

• В разряде единиц стоит цифра 5, умножаем ее на 5. 5 * 5 = 25.
• Число десятков 110. Модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц: |110 - 25| = 85.
• Далее еще раз применяем правило, чтобы определить, делится ли 85 на 17.
• Для числа 85 модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц: |8 - 25| = 17.
• Следовательно, исходное число 1105 делится на 17.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

Пример. Число 1234567890.

• Проверяем делимость на 2: число 1234567890 заканчивается на четную цифру, значит, делится на 2.
• Проверяем делимость на 9: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0= 45. На 9 делится.
• Значит, 1234567890 делится на 18.

Признак делимости на 19: число делится на 19, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19.

Пример. Число 1235.

• Последняя цифра 5, умножаем ее на 2, получаем 10.
• Число десятков 123. 123 + 10 = 133.
• Используем этот признак делимости на 19 еще раз, но уже для числа 133.
• 13 + 3 * 2 = 19. Следовательно, 133 делится на 19.
• Это означает, что и 1235 делится на 19.

 

Конкурс. Признаки делимости