Средние значения

К средним значения (или величинам) относятся среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное (квадратическое).

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. То есть:

Среднее арифметическое = (сумма чисел) : (количество слагаемых)

Потренируйте свои навыки в тренажёре «Вычисление среднего арифметического».

Рассмотрим другое важное понятие: средняя скорость движения. Она равна частному от деления пройденного пути на время движения. Рассмотрим два примера.

Задача 4. В субботу Ваня вышел из дома и пошёл гулять в парк. С помощью умных часов Ваня заметил, что 3 часа он шёл со скоростью 5 км/ч, а 1 час – со скоростью 6 км/ч. С какой средней скоростью шёл Ваня?

Решение. У нас есть два значения скорости: 5 км/ч и 6 км/ч. Но если мы просто найдём среднее арифметическое этих чисел (5,5 км/ч), то это не будет средней скоростью. Нам нужно учесть ещё и время. Можно поступить так. Найти расстояние, которое он прошёл, и разделить на время, которое он на это потратил. Пройденное расстояние: 5⋅3 + 6⋅1 = 21 км. Потратил он 4 часа. Тогда средняя скорость движения 21 : 4 = 5,25 км/ч. Можно было бы поступить и иначе. Разбить весь путь на одинаковые интервалы по 1 часу и выписать скорость на каждом интервале: 5 км/ч, 5 км/ч, 5 км/ч и 6 км/ч. Потом посчитать среднее арифметическое получившихся чисел. Мы получим такой же результат.

На будущее. Для вычисления средней скорости движения при условии, что известны скорости на нескольких участках равной длины нельзя использовать среднее арифметическое. В этом случае используется более сложная формула, которая называется формулой среднего гармонического чисел. С этим понятием познакомимся в 7 классе.

Задача 4. В воскресенье Ваня снова пошёл гулять в парк. Из дома он вышел в 12:00, а вернулся в 15:15. С помощью умных часов он заметил, что прошёл 16,9 км. С какой средней скоростью шёл Ваня?

Решение. В этом случае у нас нет данных о скорости движения Вани. Однако, зная пройденное расстояние и потраченное время, мы можем найти среднюю скорость движения. Время прогулки 3 часа и 15 минут, то есть 3,25 часа. Тогда средняя скорость: 16,9 : 3,25 = 5,2 км/ч.

В задачах нам могут понадобиться и такие соотношения, которые получаются из определения среднего арифметического:

сумма чисел = (среднее арифметическое) ⋅ (количество слагаемых)

количество слагаемых = (сумма чисел) : (среднее арифметическое)

Задача 5. Среднее арифметическое трёх чисел равно 5. Одно число равно 7, другое 2. Чему равное третье число?

Решение. Найдём сумму трёх чисел. Для этого умножим среднее арифметическое на количество чисел: 5 ⋅ 3 = 15. Теперь находим неизвестное третье число: 15 - 7 - 2 = 6.

Задача 6. Друзья собирали в саду яблоки. Всего было собрано 35 яблок. Поделив поровну, у каждого оказалось по 7 яблок. Сколько всего друзей собирало яблоки?

Решение. Разделим сумму, то есть количество яблок, на среднее арифметическое: 35 : 7 = 5. Таким образом, всего было 5 друзей.

Задача 7*. Среднее арифметическое трёх последовательных натуральных чисел равно 10. Найдите эти числа.

Решение. Нам нужно найти три натуральных числа, которые идут один за другим. Если обозначить среднее из них через x, то остальные числа будут равны x-1 и x+1. Сумма этих чисел будет равна 3x, а среднее арифметическое, по условию задачи, равно 10. Тогда получается, что 10 = 3x : 3, то есть x = 10. Искомые числа: 9, 10 и 11.

Наблюдение. Предыдущая задача наводит на полезное наблюдение. Если есть нечётное количество последовательных натуральных чисел, то их среднее арифметическое будет равно среднему из этих чисел. Например, среднее арифметическое чисел 1, 2, 3, 4, 5 будет равно 3.

На будущее. Мы столкнулись с новым понятием, которое понадобится в старших классах. Медиана – это значение, которое делит упорядоченный (по возрастанию или убыванию) набор чисел пополам: ровно половина чисел больше медианы, и столько же – меньше.

Чтобы вычислить медиану, нужно выполнить два шага:

1. Упорядочить числа по возрастанию.
2. Найти медиану в зависимости от количества чисел в наборе:

Если количество чисел нечётное, медиана – это число, стоящее ровно посередине.
Если количество чётное, медиана – это среднее арифметическое (полусумма) двух чисел, расположенных в центре упорядоченного ряда.

В примере, который у нас был выше, медиана чисел 1, 2, 3, 4 и 5 – это число 3. А медиана чисел 3, 7, 10, 1 и 2 тоже будет равна 3. Действительно, упорядочим наши числа: 1, 2, 3, 7, 10. Посередине снова окажется число 3. Медиана чисел от 1 до 10 равна 5,5, так как посередине окажутся числа 5 и 6, а их среднее арифметическое равно 5,5.

Потренируйте свои навыки в тренажёре «Вычисление средней скорости».