Среднее геометрическое (8 класс)

Рассмотрим сначала среднее геометрическое для двух чисел. В этом случае его называют также средним пропорциональным.

Пусть даны два положительных числа \(a\) и \(b\). Среднее пропорциональное или среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\) – это такое число \(x\), что выполняется пропорция: \(\frac{a}{x} = \frac{x}{b}\).

Из этой пропорции следует, что \(x^2 = a · b\), следовательно, \(x = \sqrt{a · b}\).

Вспомним, что средним арифметическим двух чисел называется их полусумма. Имеет место неравенство:

\(\sqrt{a · b} \leq \frac{a+b}{2}\).

То есть среднее геометрическое не больше, чем среднее арифметическое двух чисел, причём равенство достигается только в том случае, когда оба числа равны.

Действительно:

\(\frac{a+b}{2} - \sqrt{a · b} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \geq 0\).

В геометрии среднее геометрическое (среднее пропорциональное) проявляется в свойствах прямоугольного треугольника:

1. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу.

2. Катет – это среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и основанием высоты (проекцией катета на гипотенузу).

Из п. 1 непосредственно следует геометрический способ построения среднего геометрического двух заданных отрезков:

1. Отложить заданные отрезки на прямой. Построить окружность на сумме этих отрезков как на диаметре.

2. Из точки соединения отрезков восстановить перпендикуляр до пересечения с окружностью.

3. Длина этого перпендикуляра и будет равна среднему геометрическому исходных отрезков.

В общем случае средним геометрическим \(n\) положительных чисел \(a_1, a_2, ..., a_n\) называется число, равное корню n-й степени из произведения этих чисел. То есть: \(\sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\).

Можно представить себе среднее геометрическое число и другим способом: средним геометрическим положительных чисел \(a_1, a_2, ..., a_n\) называется такое число, что если перемножить его на себя n раз, то результат будет равен произведению этих чисел.

В общем случае также выполняется упомянутое соотношение: среднее геометрическое не больше, чем среднее арифметическое этих же чисел, причём равенство достигается только в том случае, когда все числа равны. Это соотношение называется неравенством Коши (в честь выдающегося французского математика Огюстена Луи Коши, который опубликовал его в 1821 году).

Задача 1. Найти среднее геометрическое чисел 2 и 8.

Решение. Так как 2 · 8 = 16 = 4 · 4, то среднее геометрическое будет равно 4.

Задача 2. Найти среднее геометрическое чисел 1, 2 и 4.

Решение. Так как 1 · 2 · 4 = 8 = 2 · 2 · 2, то среднее геометрическое будет равно 2.

Из очевидных свойств среднего геометрического можно отметить два:

1. Среднее геометрическое нескольких чисел не меньше минимального из них и не больше максимального.

2. Если все числа увеличить в \(k\) раз, то и среднее геометрическое увеличится в \(k\) раз.

Потренируйте свои навыки в тренажёре «Вычисление среднего геометрического».

Среднее геометрическое используется, когда нужно усреднить относительные изменения или темпы роста. В таких случаях среднее арифметическое не используется. Рассмотрим это на примере.

Задача 3. Годовой доход компании за три года вырос на 10%, 20% и 30%. Каков средний темп роста за эти годы?

Решение. Обозначим за 100% начальный доход компании. После первого года: 100% + 10% = 110% (или 1,1 от начального). Второй год: 1,1 × 1,2 = 1,32 (32%). Третий год: 1,32 × 1,3 ≈ 1,716 (71,6%). В целом за три года рост составил 71,6%. Заметим, что если взять среднее арифметическое от 10%, 20% и 30%, то получится 20%. Посчитаем тогда доход за три года: 1 × 1,2 × 1,2 × 1,2 = 1,728, значение не совпадает. Найдём среднее геометрическое: ∛(1,1 × 1,2 × 1,3) = ∛1,716 ≈ 1,1972 (19,72%). Посчитаем доход за три года: 1 × 1,1972 × 1,1972 × 1,1972 ≈ 1,716. Таким образом, в данном случае нужно использовать именно среднее геометрическое. Ответ: 19,72%.

 

Конкурс. Среднее геометрическое