Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. То есть:

Среднее арифметическое = (сумма чисел) : (количество слагаемых)

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. У Пети 3 яблока, у Васи 7 яблок, а у Саши 5 яблок. Ребята решили поделить яблоки поровну. Сколько станет яблок у каждого? Как это можно сделать?

Решение. Всего у ребят 3 + 7 + 5, то есть 15 яблок. Тогда, чтобы у каждого было одинаковое количество яблок 15 : 3 = 5. Получается, у каждого станет по 5 яблок. Сначала мы нашли сумму чисел (3 + 7 + 5 = 15). Потом разделили эту сумму на количество слагаемых: 15 : 3 = 5.

Зная, сколько яблок должно оказаться у каждого, легко понять, как их можно поделить. Например, Вася может отдать 2 яблока Пети. Но можно поступить и иначе. Ребята могут сложить все яблоки на стол, а потом повторить следующие действия: каждый берёт себе по одному яблоку. За один круг со стола будет взято 3 яблока. После 5 кругов, все яблоки со стола будут разобраны.

Среднее арифметическое часто встречается в обычной жизни. Например, средняя температура летом, среднее количество выпитой в день воды, средняя рождаемость и так далее. Эти числа часто используются для сравнения.

Пример. Средняя температура зимой на Южном полюсе составляет примерно -58°C. Средняя температура зимой на Северном полюсе составляет примерно -40°C.Значит, в среднем на Южном полюсе холоднее, чем на Северном.

Для любознательных: на Южном полюсе всегда холоднее, чем на Северном полюсе. Самая высокая температура зимой на Южном полюсе составила −12,3 °C. Этот рекорд был зафиксирован 25 декабря 2011 года на станции «Амундсен-Скотт». Самая низкая температура зимой на Южном полюсе была зафиксирована 23 июня 1982 года на станции Амундсен-Скотт и составила −82,8 °C. Официальный рекорд по самой низкой температуре −89,2 °C, он был зафиксирован 21 июля 1983 года на советской станции «Восток», которая находится в Антарктиде.

Задача 2. Контрольную по математике писали 15 учеников класса. 5 учеников получили оценку 5, 7 учеников получили оценку 4, один ученик получил оценку 3, а два ученика получили 2. Какой средний балл класса по контрольной?

Решение. Найдем сумму оценок все учеников класса. 5 учеников получили 5, это 25 баллов. 7 учеников получили 4, это 28 баллов, один ученик получил 3, два ученика получил 2, это 4 балла. Складываем все баллы: 25 + 28 + 3 + 4 = 60. Делим на количество учеников и находим средний балл: 60 : 15 = 4.

Задача 3. В понедельник, среду и четверг у Ани по 6 уроков, а по вторникам и пятницам по 5 уроков. Сколько в среднем у Ани уроков?

Решение. Найдем общее количество уроков: 3 дня по 6 уроков и 2 дня по 5 уроков. Получается 3⋅6 + 2⋅5 = 18 + 10 = 28. Разделим на количество дней: 28 : 5 = 5,6. Получается, что в среднем у Ани 5,6 урока в день. Среднее целых чисел может оказаться и не целым числом!

Рассмотрим другое важное понятие: средняя скорость движения. Рассмотрим два примера.

Задача 4. В субботу Ваня вышел из дома и пошёл гулять в парк. С помощью умных часов он заметил, что 3 часа он шёл со скоростью 5 км/ч, а 1 час со скоростью 6 км/ч. С какой средней скоростью шёл Ваня?

Решение. У нас есть два значения скорости: 5 км/ч и 6 км/ч. Но если мы просто найдём среднее арифметическое этих чисел (5,5 км/ч), то это не будет средней скоростью. Нам нужно учесть ещё и время. Можно поступить так. Найти расстояние, которое он прошёл и разделить на время, которое он на это потратил. Пройденное расстояние: 5⋅3 + 6⋅1 = 21 км. Потратил он 4 часа. Тогда средняя скорость движения 21 : 4 = 5,25 км/ч. Можно было бы поступить и иначе. Разбить весь путь на одинаковые интервалы по 1 часу и выписать скорость на каждом интервале: 5 км/ч, 5 км/ч, 5 км/ч и 6 км/ч, . Потом посчитать среднее арифметическое получившихся чисел, мы получим такой же результат.

Задача 4. В воскресенье Ваня снова пошёл гулять в парк. Из дома он вышел в 12:00, а вернулся в 15:15. С помощью умных часов он заметил, что прошёл 16,9 км. С какой средней скоростью шёл Ваня?

Решение. В этом случае у нас нет данных о скорости движения Вани. Однако, зная  пройденное расстояние и потраченное время, мы можем найти среднюю скорость движения. Время прогулки 3 часа и 15 минут, то есть 3,25 часа. Тогда средняя скорость: 16,9 : 3,25 = 5,2 км/ч.

В задачах нам могут понадобиться и такие соотношения, которые получаются из определения среднего арифметического:

сумма чисел = (среднее арифметическое) ⋅ (количество слагаемых)

количество слагаемых = (сумма чисел) : (среднее арифметическое)

Задача 5. Среднее арифметическое трёх чисел равно 5. Одно число равно 7, другое 2. Чему равное третье число?

Решение. Найдём сумму трёх чисел. Для этого умножим среднее арифметическое на количество чисел: 5 ⋅ 3 = 15. Теперь находим неизвестное третье число: 15 - 7 - 2 = 6.

Задача 6. Друзья собирали в саду яблоки. Всего было собрано 35 яблок. Поделив поровну у каждого оказалось по 7 яблок. Сколько всего друзей собирало яблоки?

Решение. Разделим сумму, то есть количество яблок, на среднее арифметическое: 35 : 7 = 5. Таким образом, всего было 5 друзей.

Задача 7*. Среднее арифметическое трёх последовательных натуральных чисел равно 10. Найдите эти числа.

Решение. Нам нужно найти три натуральных числа, которые идут один за другим. Если обозначить среднее из них через x, то остальные числа будут равны x-1 и x+1. Сумма этих чисел будет равна 3x, а среднее арифметическое, по условию задачи, равно 10. Тогда получается, что 10 = 3x : 3, то есть x = 10. Искомые числа: 9, 10 и 11.

Наблюдение. Предыдущая задача наводит на полезное наблюдение. Если есть нечётное количество последовательных натуральных чисел, то их среднее арифметическое будет равно среднему из этих чисел. Например, среднее арифметическое чисел 1, 2, 3, 4, 5 будет равно 3.

На будущее. Мы столкнулись с новым понятием, которое понадобится в старших классах. Медиана — это значение, которое делит упорядоченный (по возрастанию или убыванию) набор чисел пополам: ровно половина чисел больше медианы, и столько же — меньше.

Чтобы вычислить медиану, нужно выполнить два шага:

1. Упорядочить числа по возрастанию
2. Найти медиану в зависимости от количества чисел в наборе:

• Если количество чисел нечётное, медиана — это число, стоящее ровно посередине.
• Если количество чётное, медиана — это среднее арифметическое (полусумма) двух чисел, расположенных в центре упорядоченного ряда.

В примере, который у нас был выше. Медиана чисел 1, 2, 3, 4 и 5 — это число 3. А медиана чисел 3, 7, 10, 1 и 2, тоже будет равна 3. Действительно, упорядочим наши числа: 1, 2, 3, 7, 10. Посередине снова окажется число 3. Медиана чисел от 1 до 10 равна 5,5, так как посередине окажутся числа 5 и 6, а их среднее арифметическое равно 5,5.

Конкурс. Среднее арифметическое